Análisis Estadístico: ANOVA y Gráficas de MediasStatistical Analysis: ANOVA & Means Plots

📊De datos crudos a una decisiónFrom raw data to a decision

BloqueBlock	Qué aprendemosWhat we learn	Min.Min.
0	Vocabulario estadístico desde ceroStatistical vocabulary from scratch	77
1	Por qué necesitamos estadística: el problema del azarWhy we need statistics: the problem of chance	55
2	Herramientas básicas: media, desviaciones y suma de cuadradosBasic tools: mean, deviations, and sum of squares	88
3	Herramienta 1 — Gráfica de Medias (con 2 ejemplos completos)Tool 1 — Means Plot (with 2 complete examples)	1212
4	Herramienta 2 — ANOVA (con 3 ejemplos; el primero, paso a paso)Tool 2 — ANOVA (with 3 examples; the first one step by step)	2222
5	De los números a la conclusión: cómo reportar y errores comunesFrom numbers to conclusion: how to report and common mistakes	66

📖0 · Vocabulario estadístico desde cero0 · Statistical vocabulary from scratch7 min

La estadística tiene palabras que suenan complicadas pero describen ideas simples. Usaremos un mismo caso conductor, el del proyecto ORIGAMI: un organizador de cartón del que medimos cuántos kilogramos soporta antes de deformarse, cambiando el grosor del cartón y el tipo de plegado.Statistics has words that sound complicated but describe simple ideas. We will use one running case, the ORIGAMI project: a cardboard organizer for which we measure how many kilograms it supports before deforming, changing the cardboard thickness and the folding type.

🎲1 · Por qué necesitamos estadística: el problema del azar1 · Why we need statistics: the problem of chance5 min

Supongan que el equipo de ORIGAMI construye dos organizadores exactamente iguales (mismo grosor, mismo plegado) y los carga hasta que se deforman. Resultado: uno aguanta 2.0 kg y el otro 2.2 kg. Son "iguales" y aun así dieron resultados distintos. Esa diferencia no es culpa del diseño: viene del cartón, de la forma de pegar, de cómo se colocó el peso. Es el azar (ruido), y nunca desaparece.Suppose the ORIGAMI team builds two exactly equal organizers (same thickness, same folding) and loads them until they deform. Result: one holds 2.0 kg and the other 2.2 kg. They are "equal" and yet gave different results. That difference is not the design's fault: it comes from the cardboard, the gluing, the way the weight was placed. It is chance (noise), and it never goes away.

Ahora cambian el grosor y el organizador grueso aguanta 3.6 kg. ¿La diferencia de 1.5 kg vs 2.1 kg es porque el grosor sí importa (la señal), o es simplemente otro "2.0 vs 2.2" más grande por casualidad (el ruido)? La estadística existe para responder esta pregunta con números, en lugar de con intuición.Now they change the thickness and the thick organizer holds 3.6 kg. Is the difference 3.6 kg vs 2.1 kg because thickness does matter (the signal), or is it just another "2.0 vs 2.2" that happened to be bigger by chance (the noise)? Statistics exists to answer this question with numbers instead of intuition.

🧱2 · Herramientas básicas: media, desviaciones y suma de cuadrados2 · Basic tools: mean, deviations, and sum of squares8 min

Todo el ANOVA se construye con tres ideas que ya conocen, solo que con nombre formal: el promedio, qué tan lejos queda cada dato de ese promedio, y cómo sumar esas distancias. Las veremos con cinco prototipos "Delgados" de ORIGAMI que, construidos igual, soportaron:The whole ANOVA is built with three ideas you already know, just with formal names: the average, how far each datum lies from that average, and how to add those distances. We will see them with five "Thin" ORIGAMI prototypes that, built the same way, supported:

Σ (sigma mayúscula) significa "suma de todos". Aplicado a nuestros cinco datos, renglón por renglón:Σ (capital sigma) means "sum of all". Applied to our five data, line by line:

Un dato por encima de la media tiene desviación positiva; por debajo, negativa. Pero si sumamos las desviaciones, siempre da cero (los positivos cancelan a los negativos), así que esa suma no sirve para medir qué tan dispersos están los datos.A datum above the mean has a positive deviation; below, negative. But if we add the deviations, the total is always zero (positives cancel negatives), so that sum is useless for measuring how spread out the data are.

La solución es elevar al cuadrado cada desviación: así todas quedan positivas, y los datos muy alejados pesan más. A la suma de esos cuadrados le llamamos suma de cuadrados (SS, de sum of squares). Es la medida básica de "cuánta variación hay".The solution is to square each deviation: that way they all become positive, and data far from the mean weigh more. The sum of those squares is called the sum of squares (SS). It is the basic measure of "how much variation there is".

Dato yDatum y	Desviación (y − 2.1)Deviation (y − 2.1)	Desviación al cuadradoSquared deviation
1.9	−0.2	0.04
2.2	+0.1	0.01
2.0	−0.1	0.01
2.3	+0.2	0.04
2.1	0.0	0.00
Σ	0.0 (¡siempre cero!)	SS = 0.10

Una suma de cuadrados crece con el número de datos, así que para comparar conviene promediarla. Pero no se divide entre n sino entre los grados de libertad. Idea intuitiva: si saben que el promedio de 5 datos es 2.1 y conocen 4 de ellos, el quinto ya no es libre: queda determinado. Solo 4 de los 5 datos son libres, así que gl = n − 1 = 4. A la suma de cuadrados dividida entre sus grados de libertad se le llama cuadrado medio (en este caso, es la varianza).A sum of squares grows with the number of data, so to compare it is convenient to average it. But we do not divide by n but by the degrees of freedom. Intuitive idea: if you know the average of 5 data is 2.1 and you know 4 of them, the fifth is no longer free: it is determined. Only 4 of the 5 data are free, so df = n − 1 = 4. A sum of squares divided by its degrees of freedom is called a mean square (in this case, it is the variance).

Compruébalo: los datos 4, 6 y 8 → ¿media, SS y varianza?Check yourself: the data 4, 6, and 8 → mean, SS, and variance?

Media = 18 ÷ 3 = 6
Desviaciones: −2, 0, +2 (suman 0)
Cuadrados: 4 + 0 + 4 → SS = 8
gl = 3 − 1 = 2
Varianza = 8 ÷ 2 = 4Mean = 18 ÷ 3 = 6
Deviations: −2, 0, +2 (they add to 0)
Squares: 4 + 0 + 4 → SS = 8
df = 3 − 1 = 2
Variance = 8 ÷ 2 = 4

¿Por qué se elevan al cuadrado las desviaciones en lugar de sumarlas tal cual?Why are the deviations squared instead of being added as they are?

Porque la suma directa siempre da cero (los positivos cancelan a los negativos). Al elevar al cuadrado todo queda positivo y los datos más alejados pesan más.Because the direct sum is always zero (positives cancel negatives). Squaring makes everything positive and gives more weight to data farther from the mean.

📈3 · Herramienta 1 — Gráfica de Medias3 · Tool 1 — Means Plot12 min

Qué es. Una gráfica que muestra, para cada factor, el promedio de la respuesta en cada uno de sus niveles. Para qué sirve. Para ver qué factor mueve más la respuesta (el efecto principal de cada factor) y en qué dirección. Por qué funciona con un solo prototipo por combinación: cada nivel de un factor aparece en varias combinaciones, así que su promedio ya mezcla varios prototipos.What it is. A plot that shows, for each factor, the average response at each of its levels. What it is for. To see which factor moves the response most (each factor's main effect) and in which direction. Why it works with only one prototype per combination: each level of a factor appears in several combinations, so its average already blends several prototypes.

Con 3 o más niveles, el efecto de cada nivel se mide contra la media general: y_nivel − y, y el tamaño del efecto del factor se resume con el rango de medias (la media más alta menos la más baja).With 3 or more levels, each level's effect is measured against the grand mean: y_level − y, and the factor's effect size is summarized by the range of means (the highest mean minus the lowest).

Cómo se construye, paso a pasoHow it is built, step by step

1. Ordenar los datos en una tabla: una fila por combinación, con los niveles de cada factor y la respuesta.Organize the data in a table: one row per combination, with each factor's levels and the response.
2. Para cada factor, calcular el promedio de la respuesta en cada nivel (promediando las filas donde el factor está en ese nivel).For each factor, calculate the average response at each level (averaging the rows where the factor is at that level).
3. Graficar: un panel por factor, niveles en el eje horizontal y promedio en el vertical, uniendo los puntos con una línea. Usen la misma escala vertical en todos los paneles; si no, no se pueden comparar.Plot: one panel per factor, levels on the horizontal axis and average on the vertical, joining the points with a line. Use the same vertical scale in all panels; otherwise they cannot be compared.
4. Calcular el efecto de cada factor (diferencia de medias) y ordenarlos de mayor a menor. La línea más inclinada es el factor dominante.Calculate the effect of each factor (difference of means) and rank them from largest to smallest. The steepest line is the dominant factor.
5. Escribir la conclusión con unidades, indicando qué nivel conviene y recordando que la gráfica muestra diferencias, no demuestra que no sean azar.Write the conclusion with units, stating which level is preferable and remembering that the plot shows differences, not proof that they are not chance.

Si la media de un nivel alto es 4.0 kg y la del nivel bajo es 3.1 kg, ¿cuál es el efecto?If the mean of the high level is 4.0 kg and that of the low level is 3.1 kg, what is the effect?

Efecto = 4.0 − 3.1 = +0.9 kg: al pasar del nivel bajo al alto, la respuesta sube en promedio 0.9 kg.Effect = 4.0 − 3.1 = +0.9 kg: moving from the low to the high level, the response rises 0.9 kg on average.

Dos paneles de una gráfica de medias usan escalas verticales distintas. ¿Por qué es un error?Two panels of a means plot use different vertical scales. Why is that a mistake?

Porque una línea inclinada en una escala corta y una en una escala larga pueden verse igual de pronunciadas aunque sus efectos sean muy distintos. Para comparar factores, la escala debe ser la misma.Because a steep line on a short scale and one on a long scale can look equally steep even if their effects are very different. To compare factors, the scale must be the same.

🧮4 · Herramienta 2 — ANOVA (Análisis de Varianza)4 · Tool 2 — ANOVA (Analysis of Variance)22 min

4.1 La idea: comparar la variación entre grupos contra la variación dentro de los grupos4.1 The idea: comparing variation between groups against variation within groups

"Varianza" es la palabra clave del nombre. El ANOVA no compara medias restándolas directamente: compara dos tipos de variación. La variación entre grupos es qué tan separadas están las medias de los niveles (la señal). La variación dentro de los grupos es qué tan dispersos están los datos de un mismo nivel, que son réplicas de lo mismo (el ruido). Veamos dos escenarios con exactamente las mismas medias (2.1 y 3.6 kg):"Variance" is the key word in the name. ANOVA does not compare means by subtracting them directly: it compares two kinds of variation. The variation between groups is how far apart the level means are (the signal). The variation within groups is how spread out the data of a single level are, which are replicates of the same thing (the noise). Let us look at two scenarios with exactly the same means (2.1 and 3.6 kg):

En A nadie dudaría que el grosor importa: la separación entre grupos (1.5 kg) es enorme comparada con la dispersión dentro de cada grupo (0.1 kg). En B la separación es la misma, pero los datos están tan dispersos que un "Delgado" de 3.0 kg supera a un "Grueso" de 2.7 kg: no podemos distinguir el efecto del azar. El ANOVA convierte esta intuición en un número.In A nobody would doubt that thickness matters: the separation between groups (1.5 kg) is huge compared with the spread within each group (0.1 kg). In B the separation is the same, but the data are so spread out that a "Thin" of 3.0 kg beats a "Thick" of 2.7 kg: we cannot tell the effect from chance. ANOVA turns this intuition into a number.

4.2 Las hipótesis4.2 The hypotheses

ANOVA se plantea como un "juicio": se parte de que el factor no hace nada, y se pide que los datos aporten evidencia suficiente para dejar de creerlo.ANOVA is set up like a "trial": it starts by assuming the factor does nothing, and asks the data to provide enough evidence to stop believing it.

4.3 Notación: cómo se nombran los datos4.3 Notation: how the data are named

Un factor con k niveles genera k grupos. Cada grupo tiene n_i datos (réplicas). Todo el mundo usa estos símbolos, así que conviene aprenderlos:A factor with k levels creates k groups. Each group has n_i data (replicates). Everyone uses these symbols, so it is worth learning them:

SímboloSymbol	SignificadoMeaning	Ejemplo (Delgado / Grueso, 2 réplicas)Example (Thin / Thick, 2 replicates)
k	Número de grupos (niveles del factor)Number of groups (factor levels)	2
ni	Datos (réplicas) del grupo iData (replicates) of group i	2 y 22 and 2
N	Total de datos = suma de todas las niTotal number of data = sum of all ni	4
yij	Dato número j del grupo iDatum number j of group i	y21 = 3.5 (grupo 2, réplica 1)y21 = 3.5 (group 2, replicate 1)
yi	Media del grupo iMean of group i	2.1 y 3.6
y	Media general (de los N datos)Grand mean (of all N data)	2.85

4.4 Las sumas de cuadrados: SSB, SSE y SST4.4 The sums of squares: SSB, SSE, and SST

Usamos la misma idea del bloque 2 (sumar desviaciones al cuadrado) tres veces, según de qué desviación se trate:We use the same idea from block 2 (summing squared deviations) three times, depending on which deviation it is:

Mide qué tan lejos quedan las medias de los grupos de la media general. Cada desviación se multiplica por n_i porque la media de un grupo con más datos es más confiable. (SSB, de Sum of Squares Between; Montgomery la llama SS de tratamientos.)It measures how far the group means lie from the grand mean. Each deviation is multiplied by n_i because the mean of a group with more data is more reliable. (SSB, Sum of Squares Between; Montgomery calls it SS of treatments.)

Mide qué tan lejos queda cada dato de la media de su propio grupo. Es la suma de los SS de cada grupo, como el SS = 0.10 que calculamos en el bloque 2. (SSE, de Sum of Squares Error.)It measures how far each datum lies from the mean of its own group. It is the sum of each group's SS, like the SS = 0.10 we calculated in block 2. (SSE, Sum of Squares Error.)

4.5 Grados de libertad, cuadrados medios y el estadístico F4.5 Degrees of freedom, mean squares, and the F statistic

Igual que en el bloque 2, cada suma de cuadrados se convierte en una variación promedio dividiéndola entre sus grados de libertad. Los grados de libertad cuentan cuántos datos son realmente libres:As in block 2, each sum of squares is turned into an average variation by dividing it by its degrees of freedom. Degrees of freedom count how many data are really free:

FuenteSource	Grados de libertadDegrees of freedom	Por quéWhy	Cuadrado medioMean square
Entre gruposBetween groups	glentre = k − 1dfbetween = k − 1	Las k medias de grupo están atadas a la media general: solo k − 1 son libres.The k group means are tied to the grand mean: only k − 1 are free.	MSB = SSBk − 1
Dentro (error)Within (error)	gldentro = N − kdfwithin = N − k	Cada grupo pierde 1 por estar atado a su propia media: N − k en total.Each group loses 1 for being tied to its own mean: N − k in total.	MSE = SSEN − k
TotalTotal	gltotal = N − 1dftotal = N − 1	Comprobación: (k − 1) + (N − k) = N − 1.Check: (k − 1) + (N − k) = N − 1.	—

Cómo se lee F: si el factor no hace nada, la señal y el ruido son parecidos y F queda cerca de 1. Si el factor sí importa, la señal supera al ruido y F es mucho mayor que 1. La pregunta es: ¿qué tan grande debe ser F para creerlo? Eso lo dice la F crítica.How to read F: if the factor does nothing, signal and noise are similar and F is close to 1. If the factor matters, the signal exceeds the noise and F is much greater than 1. The question is: how large must F be to believe it? The critical F answers that.

Todo el cálculo se ordena en una tabla ANOVA, que es el formato estándar para reportarlo:The whole calculation is organized in an ANOVA table, which is the standard format for reporting it:

FuenteSource	SS	gl / df	MS	F
Entre gruposBetween groups	SSB	k − 1	SSB ÷ (k − 1)	MSB ÷ MSE
Dentro (error)Within (error)	SSE	N − k	SSE ÷ (N − k)
TotalTotal	SST	N − 1

4.6 La F crítica y la decisión4.6 The critical F and the decision

La F crítica es el valor de tabla que separa los resultados "creíbles como azar" de los que no. Depende de tres cosas: los grados de libertad entre (columna de la tabla), los grados de libertad dentro (renglón) y el nivel de significancia α = 0.05. Se busca en una tabla de la distribución F; esta es la parte de la tabla que necesitarán (α = 0.05):The critical F is the table value that separates results "believable as chance" from those that are not. It depends on three things: the degrees of freedom between (the table column), the degrees of freedom within (the row), and the significance level α = 0.05. It is looked up in an F-distribution table; this is the part of the table you will need (α = 0.05):

gl dentro ↓ / gl entre →df within ↓ / df between →	1	2	3
2	18.51	19.00	19.16
3	10.13	9.55	9.28
4	7.71	6.94	6.59
5	6.61	5.79	5.41
6	5.99	5.14	4.76
7	5.59	4.74	4.35
8	5.32	4.46	4.07
9	5.12	4.26	3.86
10	4.96	4.10	3.71
12	4.75	3.89	3.49

Ejemplo de lectura: con 1 gl entre y 2 gl dentro, F crítica = 18.51; con 2 y 9, F crítica = 4.26. Si necesitan otros valores, en Excel o Hojas de cálculo de Google: =INV.F.CD(0.05; gl_entre; gl_dentro) (en inglés =F.INV.RT(0.05, df1, df2)).Reading example: with 1 df between and 2 df within, critical F = 18.51; with 2 and 9, critical F = 4.26. If you need other values, in Excel or Google Sheets: =F.INV.RT(0.05, df1, df2) (in Spanish-language software =INV.F.CD(0.05; df1; df2)).

El valor p expresa lo mismo de otra forma, con un número. Ambas reglas son equivalentes: F > F crítica ⇔ p < 0.05. En Excel: =DISTR.F.CD(F; gl_entre; gl_dentro) (en inglés =F.DIST.RT(F, df1, df2)).The p-value expresses the same thing in another way, as a number. Both rules are equivalent: F > critical F ⇔ p < 0.05. In Excel: =F.DIST.RT(F, df1, df2) (in Spanish-language software =DISTR.F.CD(F; df1; df2)).

4.7 Lo que el resultado sí dice y lo que no4.7 What the result does and does not say

4.8 Condiciones para que el ANOVA sea válido4.8 Conditions for ANOVA to be valid

1. Réplicas reales: cada réplica es un prototipo nuevo o una medición nueva, hecha en las mismas condiciones. Repetir o copiar el mismo dato no es una réplica y invalida el análisis.Real replicates: each replicate is a new prototype or a new measurement, made under the same conditions. Repeating or copying the same datum is not a replicate and invalidates the analysis.
2. Independencia: el resultado de una réplica no debe depender del de otra (por ejemplo, no medir a la misma persona dos veces como si fueran dos personas).Independence: the result of one replicate must not depend on another (for example, not measuring the same person twice as if they were two people).
3. Dispersión parecida entre grupos: si un grupo está mucho más disperso que otro, el ANOVA pierde confiabilidad. Con pocos datos, basta con revisar a ojo que no sea muy distinta.Similar spread across groups: if one group is much more spread out than another, ANOVA loses reliability. With few data, it is enough to check by eye that it is not very different.
4. Alcance en este curso: aplicamos el ANOVA a un factor a la vez, que es la versión más sencilla. El análisis completo de un diseño factorial (con la interacción entre factores) está en Montgomery, Design and Analysis of Experiments.Scope in this course: we apply ANOVA one factor at a time, which is the simplest version. The complete analysis of a factorial design (with interaction between factors) is in Montgomery, Design and Analysis of Experiments.

4.9 Resumen del procedimiento4.9 Procedure summary

1. Ordenar los datos por grupo (nivel) y anotar k, n_i y N.Arrange the data by group (level) and note k, n_i, and N.
2. Calcular la media de cada grupo y la media general.Calculate each group's mean and the grand mean.
3. Calcular SSB y SSE (y comprobar con SST = SSB + SSE).Calculate SSB and SSE (and check with SST = SSB + SSE).
4. Calcular los grados de libertad: k − 1 y N − k.Calculate the degrees of freedom: k − 1 and N − k.
5. Calcular MSB, MSE y F = MSB ÷ MSE; armar la tabla ANOVA.Calculate MSB, MSE, and F = MSB ÷ MSE; build the ANOVA table.
6. Buscar la F crítica (α = 0.05) con los dos grados de libertad.Look up the critical F (α = 0.05) with the two degrees of freedom.
7. Decidir (F > F crítica ⇒ significativo) y escribir la conclusión con unidades y contexto.Decide (F > critical F ⇒ significant) and write the conclusion with units and context.

Ejemplos resueltosWorked examples

Un equipo obtiene F = 0.9. ¿Qué significa de manera intuitiva?A team obtains F = 0.9. What does it mean intuitively?

F cercano o menor que 1 significa que la variación entre grupos (señal) es igual o menor que la variación dentro de los grupos (ruido). No hay evidencia de efecto; ni siquiera hace falta consultar la tabla.F near or below 1 means the variation between groups (signal) is equal to or smaller than the variation within groups (noise). There is no evidence of an effect; you do not even need to consult the table.

Un factor tiene 3 niveles y se hicieron 4 réplicas de cada uno. ¿Cuántos grados de libertad entre y dentro hay?A factor has 3 levels and 4 replicates of each were made. How many degrees of freedom between and within?

k = 3, N = 12
Entre: 3 − 1 = 2
Dentro: 12 − 3 = 9
Total: 12 − 1 = 11 = 2 + 9 ✔k = 3, N = 12
Between: 3 − 1 = 2
Within: 12 − 3 = 9
Total: 12 − 1 = 11 = 2 + 9 ✔

Con F = 6.2 y F crítica = 7.71, ¿qué concluyes? ¿Y si el equipo quiere "confirmar" el efecto?With F = 6.2 and critical F = 7.71, what do you conclude? And if the team wants to "confirm" the effect?

F < F crítica: no se rechaza H₀, no hay evidencia suficiente. No se debe decir "no hay efecto". Para confirmar se necesitan más réplicas o menos ruido; no se vale ajustar o elegir datos hasta que salga significativo.F < critical F: H₀ is not rejected, not enough evidence. One should not say "there is no effect". To confirm, more replicates or less noise are needed; it is not acceptable to adjust or pick data until it comes out significant.

📝5 · De los números a la conclusión: cómo reportar y errores comunes5 · From numbers to conclusion: how to report and common mistakes6 min

¿Cuál herramienta uso en mi proyecto?Which tool do I use in my project?

SituaciónSituation	Gráfica de MediasMeans Plot	ANOVA
Su respuesta se calcula con una fórmula o modelo digital (valores deterministas)Your response is calculated with a formula or digital model (deterministic values)	✅ La herramienta correcta✅ The right tool	No aplica: las réplicas serían idénticas (SSE = 0)Does not apply: replicates would be identical (SSE = 0)
Solo tienen 1 dato por combinaciónYou only have 1 datum per combination	✅ Única opción posible✅ Only option possible	No se puede calcularCannot be calculated
Construyeron o midieron 2+ veces cada combinación (respuesta medida o de personas)You built or measured each combination 2+ times (measured or people-based response)	Válida, pero menos rigurosaValid, but less rigorous	✅ Ideal: conclusión defendible✅ Ideal: defensible conclusion

Recomendación: hagan siempre la gráfica de medias. Si replicaron combinaciones y su respuesta tiene variación real, agreguen el ANOVA para respaldar la conclusión con un valor p.Recommendation: always make the means plot. If you replicated combinations and your response has real variation, add ANOVA to back the conclusion with a p-value.

Cómo escribir la conclusión estadísticaHow to write the statistical conclusion

Una buena conclusión tiene cinco partes: la pregunta, la herramienta, el resultado numérico, la decisión y la consecuencia para el diseño. Plantilla y ejemplo:A good conclusion has five parts: the question, the tool, the numerical result, the decision, and the consequence for the design. Template and example:

Errores comunesCommon mistakes

✅Ideas clave y lo que sigue en el tallerKey ideas and what comes next in the workshop